Բրաունի թխելու և հավասար մակերեսների չափման հիմքում ընկած է պարզ երկրաչափությունը…

Ապացուցելը, որ երկու բազմանկյունները ունեն հավասար մակերեսներ կարող է լինել նույնքան հեշտ, որքան դրանք կտորների բաժանելը և վերադասավորելը:

Երկրաչափություն ուսումնասիրող ուսանողուհի Ջինան երեկ երեկոյան շատ երկար արթուն մնաց, որպեսզի կատարի իր տնային աշխատանքը երկրաչափությունից: Մինչ տնային աշխատանքն էր կատարում, նա հեռուստացույցով դիտում էր The British Bake Off հաղորդումը: Վերջապես երբ նա գնաց քնելու, նրա քնկոտ միտքը լի էր բրաունիներով և կողմնացույցերով: Այս ամենը հանգեցրին մի շատ տարօրինակ երազի:

Երազում Ջինան, մի երևակայական համալսարանի Great Brownie Bake Off մրցույթի դատավորն էր: Համալսարանում ուսանողները սովորում էին շատ երկրաչափություն և շատ քիչ թվաբանություն: Այս երևակայական համալսարանի ուսանողների թիմերին հանձնարարվել էր պատրաստել ամենամեծ բրաունին: Ջինան պիտի որոշեր, հաղթողին որոշելով թե, որ թիմի բրաունին է ամենամեծը:

Առաջինը ավարտեց Ալֆա թիմը և որն էլ հպարտությամբ ներկայացրեցին ուղղանկյուն բրաունին: Ջինան հանեց քանոն և չափեց բրաունին. դրա երկարությունը 16 դյույմ էր և լայնությունը 9 դյույմ: Բետա թիմը արագ ներկայացրեց իր քառակուսի բրունին, որը յուրաքանչյուր կողմը 12 դյույմ էր: Այդ ժամանակ էլ սկսվեց Ջինայի փորձությունը:

«Մեր բրաունին շատ ավելի երկար է, քան քան ձերը»- ասաց Ալֆայի թիմի ավագը: «Մերն ակնհայտորեն ավելի մեծ է, ուստի մենք ենք հաղթողները»:

«Բայց ձեր ուղղանկյան կարճ կողմը շատ ավելի կարճ է, քան մեր քառակուսու կողմը», – ասաց Բետա թիմի ներկայացուցիչը: «Մեր բրաուինի մակերեսը ակնհայտորեն ավելի մեծ է։ Մենք հաղթել ենք»։

Ջինային տարօրինակ թվաց այս մասին վիճելը: «Ուղղանկյուն բրաունիի մակերեսը 9 անգամ 16 է, ինչը 144 քառակուսի դյույմ է», – ասաց նա: «Քառակուսի բրաունիի մակերեսը 12 անգամ 12 է, որը նույնպես 144 քառակուսի դյույմ է։ Բրաունիները նույն չափի են: Սա նշանակում է մրցույթի արդյունքը որ-ոքի է:

Երկու թիմերն էլ տարակուսած տեսք ունեին: «Ես չեմ հասկանում, թե ինչ նկատի ունես «անգամներ ասելով», – ասաց մի ուսանող, որին երբեք բազմապատկում չեն սովորեցրել: «Ոչ էլ ես», – ասաց մեկ ուրիշը: Երրորդն ասաց. «Ես լսել եմ Complex College-ի ուսանողների մասին, որոնք «անգամ» թվեր են օգտագործում, բայց ի՞նչ է դա նշանակում»: Երևակայական համալսարանն իսկապես տարօրինակ վայր էր, նույնիսկ երազների համար:

Ի՞նչ պետք է աներ Ջինան: Ինչպե՞ս կարող էր նա համոզել թիմերին, որ իրենց բրաունիները նույն չափի են, եթե նրանք չեն հասկանում, թե ինչպես չափել մակերեսը և բազմապատկել թվերը: Բարեբախտաբար, Ջինան մի հանճարեղ միտք ուներ. «Ինձ դանակ տվեք», – ասաց նա:
Ջինան ուղղանկյուն բրաունիի երկար կողմով չափեց 12 դյույմ ներքև և կտրեց կարճ կողմին զուգահեռ: Դրանով մեծ ուղղանկյունը վերածվեց երկու փոքր ուղղանկյունի. մեկը՝ 9-ի 12-ի, իսկ մյուսը՝ 9-ի 4-ի: Երեք արագ կտրվածքով նա 9-ը 4-ի կտորը վերածեց երեք ավելի փոքր 3-ից 4-ի: Մի փոքր վերադասավորումը հանգեցրեց ամբոխի կողմից լսելի վայերի և վայերի. Ջինան ուղղանկյունը վերածել էր քառակուսու ճշգրիտ կրկնօրինակի: Այժմ երկու թիմերն էլ պետք է համաձայնվեին, որ իրենց բրաունիները նույն չափի էին: Հատելով մեկը և վերադասավորելով այն մյուսը ձևավորելու համար՝ Ջինան ցույց տվեց, որ երկու բրաունիները զբաղեցնում են նույն ընդհանուր տարածքը։ Նման մասնահատումները հազարամյակներ շարունակ օգտագործվել են երկրաչափության մեջ՝ ցույց տալու համար, որ թվերը նույն չափի են, և կան բազմաթիվ ուշագրավ արդյունքներ դիսեկցիաների և համարժեքության վերաբերյալ: Նույնիսկ այսօր մաթեմատիկոսները դեռ օգտագործում են դիսեկցիան և վերադասավորումը՝ լիովին հասկանալու համար, թե երբ են որոշ ձևեր համարժեք, ինչը վերջերս հանգեցնում է որոշ զարմանալի արդյունքների։ Դուք հավանաբար տեսել եք երկրաչափական հատվածներ մաթեմատիկայի դասին, երբ մշակում եք հիմնական ձևերի մակերեսի բանաձևերը: Օրինակ, դուք կարող եք հիշել, որ զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա հիմքի երկարությանը և նրա բարձրությանը: Դա պայմանավորված է նրանով, որ զուգահեռագիծը կարող է մասնատվել և վերադասավորվել ուղղանկյան ձևով: Այս հատվածը ցույց է տալիս, որ զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նույն հիմքով և բարձրությամբ ուղղանկյան մակերեսին, որը, ինչպես գիտի Imaginary University չհաճախած յուրաքանչյուր ոք, այդ երկու թվերի արտադրյալն է։

Խոսելով Imaginary U-ի մասին՝ Great Brownie Bake Off-ը պարզապես թեժանում էր: Գամմա թիմը մոտեցավ մեծ եռանկյունաձև բրաունիով: «Ահա հաղթողը»,- համարձակորեն հայտարարեցին նրանք։ «Մեր երկու կողմերն էլ շատ ավելի երկար են, քան մյուսները»:

Ջինան չափեց կողքերը։ «Սա նույնպես ունի նույն մակերեսը»: Նա բացականչեց. «Սա ուղղանկյուն եռանկյուն է, և հիմքերի չափերը ՝18 և 16, և այդպիսով «մակերեսը»….Ջինան մի պահ կանգ առավ՝ նկատելով բոլորի դեմքերի շփոթված հայացքները: «Օ՜, չէ: Պարզապես տվեք ինձ դանակը»:

Ջինան հմտորեն կտրեց ներքնաձիգի միջնակետից մինչև ավելի երկար հիմքւ միջնակետը, այնուհետև պտտեց նոր ձևավորված եռանկյունին այնպես, որ այն կատարյալ ուղղանկյունի ստեղծեց, երբ տեղավորվեց ավելի մեծ կտորի մեջ:

«Դա հենց մեր բրաունին է»: Բղավեց Ալֆա թիմի ղեկավարը: Անշուշտ, ստացված ուղղանկյունը 9-ը 16-ի վրա էր. ճիշտ նույն չափը, ինչ իրենցը:

Բետա թիմն էլ իր կասկածներն ուներ: «Բայց ինչպե՞ս է այս եռանկյունը համեմատվում մեր քառակուսու հետ»: նրանց թիմի ղեկավարը հարցրեց:

«Մենք արդեն գիտենք, որ ուղղանկյունը և քառակուսին նույն չափերն են, ուստի անցողիկությամբ եռանկյունին և քառակուսին նույն չափերն են»: Անցումայինությունը հավասարության ամենակարևոր հատկություններից մեկն է: Այն ասում է, որ եթե a = b և b = c, ապա a = c: Ջինան շարունակեց. «Եթե առաջին բրաունիի մակերեսը հավասար է երկրորդի մակերեսին, իսկ երկրորդի մակերեսը հավասար է երրորդի մակերեսին, ապա առաջին և երրորդ բրաունիները նույնպես պետք է ունենան հավասար մակերեսներ»։

Բայց Ջինան չափից դուրս շատ էր զվարճանում մակերեսները մասերի բաժանելու գործընթացով ապա նա կանգ չառավ: «Կամ մենք կարող ենք ևս մի քանի կրճատումներ անել»:

Սկզբում Ջինան պտտեց ուղղանկյունը, որը նախկինում եռանկյուն էր: Այնուհետև նա կտրեց այն՝ օգտագործելով ճիշտ նույն նախշը, որն օգտագործել էր Ալֆայի թիմի ուղղանկյունի վրա:

Այնուհետև նա ցույց տվեց, թե ինչպես Գամմա թիմի ուղղանկյան այս նոր հատվածը կարող է վերածվել Բետա թիմի քառակուսու ճիշտ այնպես, ինչպես նա արել էր Ալֆա թիմի ուղղանկյան հետ:

Այս իրավիճակում մենք ասում ենք, որ եռանկյունը և քառակուսին «մկրատով միանման են»: Դուք կարող եք պատկերացնել, թե ինչպես եք օգտագործում մկրատը, որպեսզի կտրեք մի ամբողջը վերջապես շատ կտորների, որոնք այնուհետև կարող են վերադասավորվել մյուսը ձևավորելու համար: Եռանկյունու և քառակուսու դեպքում բրաունիները ցույց են տալիս, թե ինչպես է այս մկրատի համընկնումն աշխատում:

Ուշադրություն դարձրեք, որ օրինաչափությունը գործում է երկու ուղղությամբ. այն կարող է օգտագործվել եռանկյունը քառակուսու կամ քառակուսին եռանկյունու վերածելու համար: Այլ կերպ ասած, մկրատի համընկնումն սիմետրիկ է. Եթե A ձևը մկրատով համահունչ է B ձևին, ապա B ձևը նույնպես մկրատով համահունչ է A ձևին:

Փաստորեն, վերը նշված փաստարկը, որը ներառում է եռանկյունին, ուղղանկյունին և քառակուսին, ցույց է տալիս, որ մկրատի համընկնումն էլ է անցողիկ: Քանի որ եռանկյունը մկրատով միանման է ուղղանկյունին, իսկ ուղղանկյունը մկրատով միանման է քառակուսին, եռանկյունը մկրատով միանման է քառակուսին: Ապացույցը օրինաչափության մեջ է. պարզապես դրանք ծածկեք միջանկյալ ձևի վրա, ինչպես արվեց վերևի ուղղանկյունի հետ:

Եթե ​​դուք եռանկյունը կտրեք կտորների, որոնք կազմում են ուղղանկյունը, ապա կտրեք ուղղանկյունը քառակուսի ձևավորող մասերի, ստացված կտորները կարող են օգտագործվել երեք ձևերից որևէ մեկը ձևավորելու համար:

Այն փաստը, որ մկրատի համընկնումն է այս զարմանալի արդյունքի հիմքում ընկած: Եթե երկու բազմանկյուններ ունեն նույն մակերեսը, ապա դրանք մկրատով միանման են: Սա նշանակում է, որ հաշվի առնելով նույն մակերեսով ցանկացած երկու բազմանկյուն, դուք միշտ կարող եք կտրել մեկը վերջավոր թվով կտորների և վերադասավորել դրանք՝ մյուսը դարձնելու համար:

Այս ուշագրավ թեորեմի ապացույցը նույնպես զարմանալիորեն պարզ է։ Նախ, յուրաքանչյուր բազմանկյուն կտրատեք եռանկյունների:

Երկրորդ, յուրաքանչյուր եռանկյունը դարձրեք ուղղանկյուն, ինչպես Ջինան վերադասավորեց եռանկյունաձև բրաունին:

Այժմ գալիս է բարդ տեխնիկական մասը. յուրաքանչյուր ուղղանկյուն դարձրեք մեկ միավոր լայնությամբ նոր ուղղանկյուն:Դա անելու համար սկսեք կտորներ կտրել ուղղանկյունից, որոնք ունեն մեկ միավոր լայնություն

Եթե ​​դուք կարող եք կտրել ուղղանկյունը 1 լայնությամբ ամբողջական կտորների Պարզապես դրեք դրանք միմյանց վրա: Հակառակ դեպքում, դադարեցրեք մանրացնելը, երբ վերջին կտորը լինի 1-ից 2 միավորի լայնությամբ, իսկ մնացածը դրեք իրար վրա։

Մի անհանգստացեք, եթե ուղղանկյունն ինքնին 1 միավորից պակաս լայնություն ունի: Պարզապես կտրեք այն կիսով չափ և օգտագործեք երկու կտոր՝ երկու անգամ ավելի երկար և կես հաստությամբ նոր ուղղանկյուն պատրաստելու համար: Կրկնեք անհրաժեշտության դեպքում, մինչև ստանաք ուղղանկյուն 1-ից 2 միավոր լայնությամբ:

Հիմա պատկերացրեք, որ այս վերջնական ուղղանկյունն ունի h բարձրություն և w լայնություն՝ 1 < w < 2-ով: Մենք կտրելու ենք այդ ուղղանկյունը և այն կվերադասավորենք ուղղանկյունի, որի լայնությունը 1 է և բարձրությունը h × w: Դա անելու համար h × w ուղղանկյունը ծածկեք ցանկալի hw × 1 ուղղանկյան նման

Այնուհետև կտրեք անկյունից անկյուն կետավոր գծի երկայնքով և կտրեք փոքրիկ եռանկյունը ներքևի աջ մասում, որը հետևում է hw × 1 ուղղանկյան աջ եզրին:

Սա կտրում է h × w ուղղանկյունը երեք մասի, որոնք կարող են վերադասավորվել hw × 1 ուղղանկյունի: (Այս վերջնական մասնահատումը հիմնավորելու համար պահանջվում են մի քանի խելացի փաստարկներ, որոնք ներառում են նմանատիպ եռանկյուններ: Մանրամասների համար տես ստորև ներկայացված վարժությունները):

Վերջապես, դրեք այս վերջին ուղղանկյունը կույտի վերևում, և դուք հաջողությամբ վերածեցիք այս բազմանկյունը և ցանկացած բազմանկյուն, լայնությամբ ուղղանկյան:

Այժմ, եթե սկզբնական բազմանկյունի մակերեսը եղել է A, ապա այս ուղղանկյան բարձրությունը պետք է լինի A, ուստի A մակերեսով յուրաքանչյուր բազմանկյուն մկրատ է 1 լայնությամբ և A բարձրությամբ ուղղանկյունին համահունչ: Դա նշանակում է, որ եթե երկու բազմանկյուններ ունեն A մակերես, ապա նրանք երկուսն էլ նույն ուղղանկյունին համահունչ մկրատ են, հետևաբար անցողիկությամբ նրանք իրար համապատասխան մկրատ են: Սա ցույց է տալիս, որ A մակերեսով յուրաքանչյուր բազմանկյուն մկրատով միանման է A. մակերեսով յուրաքանչյուր այլ բազմանկյունին:

Բայց նույնիսկ այս հզոր արդյունքը բավարար չէր Imaginary University’s Brownie Bake Off-ի դատողությունը հաջողությամբ ավարտելու համար: Դեռ մեկ մուտք էր մնացել, և ոչ ոք չզարմացավ, թե ինչով հայտնվեց Փի թիմը:

Այն պահին, երբ Ջինան տեսավ այդ շրջանակը, նա սառը քրտինքով արթնացավ երազից: Նա գիտեր, որ անհնար է շրջանագիծը կտրել անսահման շատ կտորների և դրանք վերադասավորել՝ ձևավորելով քառակուսի, ուղղանկյուն կամ որևէ բազմանկյուն: 1964 թվականին մաթեմատիկոսներ Լեսթեր Դուբինսը, Մորիս Հիրշը և Ջեկ Կարուշն ապացուցեցին, որ շրջանագիծը մկրատով համահունչ չէ որևէ բազմանկյունի: Ջինայի երազանքը վերածվել էր երկրաչափական մղձավանջի:

Բայց ինչպես միշտ թվում է, որ մաթեմատիկոսներն այս խոչընդոտը վերածեցին նոր մաթեմատիկայի: 1990 թվականին Միկլոշ Լաչկովիչն ապացուցեց, որ հնարավոր է շրջանակը կտրատել և այն վերադասավորել քառակուսու մեջ, քանի դեռ կարող ես օգտագործել անսահման փոքր, անսահման անջատված, անսահման ատամնավոր կտորներ, որոնք հնարավոր չէ կտրել մի մկրատով: Որքան էլ զարմանալի և հուզիչ էր Լաչկովիչի արդյունքը, այն միայն ապացուցեց, որ նման տարրալուծումը տեսականորեն հնարավոր է: Այն չէր բացատրում, թե ինչպես կարելի է կառուցել կտորները, միայն այն, որ դրանք կարող էին գոյություն ունենալ: Հենց այստեղ եկան Անդրաս Մատեն, Օլեգ Պիխուրկոն և Ջոնաթան Նոելը. 2022 թվականի սկզբին նրանք հրապարակեցին մի հոդված որտեղ նրանք համապատասխանեցին Լաչկովիչի նվաճմանը, բայց այնպիսի կտորներով, որոնք հնարավոր է միայն պատկերացնել:

Դժբախտաբար, դուք չեք կարողանա օգտագործել դրանց արդյունքը բրաունիի թխման որևէ խնդիր լուծելու համար: Միայն մկրատը չի կարող արտադրել 10200 կտոր, որն անհրաժեշտ է դրանց տարրալուծման համար: Բայց դա ևս մեկ քայլ առաջ է՝ պատասխանելու հարցերի այն երկար շարքին, որոնք սկսվեցին այն ժամանակ, երբ Արքիմեդն առաջին անգամ հայտնագործեց կամ հայտնաբերեց π. Եվ դա մեզ ստիպում է շարժվել դեպի նոր մաթեմատիկա հորինելու կամ բացահայտելու, որոնց մասին նախորդ սերունդները չէին կարող երազել:

Թարգմանության աղբյուրը`այստեղ

Ինչքան մեծ է անվերջությունը…How Big Is Infinity?

Ինչքան մեծ է անվերջությունը

«Մարվել» բլոքբասթերի «Վրիժառուներ. վերջնախաղ» ֆիլմի վերջում Թոնի Սթարքի նախապես ձայնագրված հոլոգրամը հրաժեշտ է տալիս իր փոքրիկ դստերը՝ ասելով. «Ես քեզ սիրում եմ 3000»: Հուզիչ պահը կրկնում է ավելի վաղ տեսարան, որտեղ երկուսն էլ զբաղված են քնելուց առաջ իրենց սերը միմյանց նկատմամբ քանակական գնահատելու զվարճալի ծեսով: Ըստ Ռոբերտ Դաունի կրտսերի՝ Սթարկին մարմնավորող դերասան, ոգեշնչվել է իր երեխաների հետ նմանատիպ փոխանակումներից:

Խաղը կարող է լինել մեծ թվեր ուսումնասիրելու զվարճալի միջոց.

«Ես սիրում եմ քեզ 10».

«Բայց ես քեզ սիրում եմ 100»:

«Դե, ես սիրում եմ քեզ 101»:

Ահա թե ինչպես է «googolplex»-ը դարձել հայտնի բառ իմ տանը: Բայց մենք բոլորս գիտենք, թե ի վերջո ուր է տանում այս փաստարկը.

«Ես սիրում եմ քեզ անսահման»: “Օ, այո? Ես սիրում եմ քեզ անսահմանություն գումարած 1»:

Անկախ նրանից, թե դա խաղահրապարակում է, թե քնելուց առաջ, երեխաները բախվում են անսահմանության հայեցակարգին մաթեմատիկայի դասերից շատ առաջ, և հասկանալի է, որ նրանք հիանում են այս առեղծվածային, բարդ և կարևոր հայեցակարգով: Այդ երեխաներից ոմանք մեծանում են որպես մաթեմատիկոսներ՝ հիացած անսահմանությամբ, իսկ այդ մաթեմատիկոսներից ոմանք նոր ու զարմանալի բաներ են բացահայտում անսահմանության մասին: Դուք կարող եք իմանալ, որ թվերի որոշ հավաքածուներ անսահման մեծ են, բայց գիտե՞ք արդյոք, որ որոշ անվերջություններ ավելի մեծ են, քան մյուսները: Եվ որ մենք վստահ չենք, արդյոք կան այլ անսահմանություններ, որոնք սենդվիչ են անում այն ​​երկուսի միջև, որոնք մենք լավագույնս գիտենք: Մաթեմատիկոսները այս երկրորդ հարցի շուրջ խորհում էին առնվազն մեկ դար, և վերջերս որոշ աշխատություններ փոխեցին մարդկանց մտածելակերպը այս հարցի վերաբերյալ:

Անսահման բազմությունների չափի վերաբերյալ հարցերը լուծելու համար եկեք սկսենք այն հավաքածուներից, որոնք ավելի հեշտ է հաշվել: Բազմությունը առարկաների կամ տարրերի հավաքածու է, իսկ վերջավոր բազմությունը պարզապես մի բազմություն է, որը պարունակում է վերջավոր շատ առարկաներ:

Վերջնական բազմության չափը որոշելը հեշտ է. Պարզապես հաշվեք դրա մեջ պարունակվող տարրերի քանակը: Քանի որ հավաքածուն վերջավոր է, դուք գիտեք, որ վերջիվերջո կդադարեք հաշվել, և երբ ավարտեք, դուք գիտեք ձեր հավաքածուի չափը:

Այս ռազմավարությունը չի աշխատում անսահման հավաքածուների հետ: Ահա բնական թվերի բազմությունը, որը նշվում է ℕ։ (Ոմանք կարող են պնդել, որ զրոն բնական թիվ չէ, բայց այդ բանավեճը չի ազդում անսահմանության մեր ուսումնասիրությունների վրա):

N= {1, 2, 3, 4, 5 …..}

Ո՞րն է այս հավաքածուի չափը: Քանի որ ամենամեծ բնական թիվ չկա, տարրերի թիվը հաշվելու փորձը չի աշխատի: Լուծումներից մեկն այս անսահման բազմության չափը պարզապես «անսահմանություն» հայտարարելն է, ինչը սխալ չէ, բայց երբ սկսում ես ուսումնասիրել այլ անսահման բազմություններ, հասկանում ես, որ դա նույնպես այնքան էլ ճիշտ չէ:

Դիտարկենք իրական թվերի բազմությունը, որոնք բոլոր թվերն են, որոնք արտահայտվում են տասնորդական ընդլայնմամբ, օրինակ՝ 7, 3.2, −8.015 կամ անսահման ընդլայնում, ինչպիսին է 2‾√=1.414213…: Քանի որ յուրաքանչյուր բնական թիվ նույնպես իրական թիվ է, ռեալների բազմությունը առնվազն նույնքան մեծ է, որքան բնական թվերի բազմությունը, և, հետևաբար, նույնպես պետք է լինի անվերջ: Բայց կա մի անբավարար բան իրական թվերի բազմության չափը նույն «անսահմանության» մեջ հայտարարելու մեջ, որն օգտագործվում է բնական թվերի չափը նկարագրելու համար: Տեսնելու համար, թե ինչու, ընտրեք ցանկացած երկու թիվ, օրինակ՝ 3-ը և 7-ը: Այդ երկու թվերի միջև միշտ կլինեն անսահման շատ բնական թվեր. ահա 4, 5 և 6 թվերը: Բայց նրանց միջև միշտ կլինեն անսահման շատ իրական թվեր՝ թվեր: ինչպես 3.001, 3.01, π, 4.01023, 5.666… և այլն: Հատկանշական է, որ անկախ նրանից, թե որքան մոտ են երկու տարբեր իրական թվեր միմյանց, դրանց միջև միշտ կլինեն անսահման շատ իրական թվեր: Սա ինքնին չի նշանակում, որ իրական թվերի և բնական թվերի բազմություններն ունեն տարբեր չափեր, բայց դա նշանակում է, որ այս երկու անսահման բազմությունների մեջ սկզբունքորեն տարբեր բան կա, որը պահանջում է հետագա ուսումնասիրություն: Մաթեմատիկոս Գեորգ Կանտորը դա հետաքննել է 19-րդ դարի վերջին։ Նա ցույց տվեց, որ այս երկու անսահման հավաքածուները իսկապես ունեն տարբեր չափեր: Հասկանալու և գնահատելու համար, թե ինչպես է նա դա արել, նախ պետք է հասկանանք, թե ինչպես կարելի է համեմատել անսահման բազմությունները: Գաղտնիքը ամենուր մաթեմատիկայի դասերի հիմնական բաղադրիչն է՝ ֆունկցիաները:

ֆունկցիաների մասին — ֆունկցիայի նշում, ինչպիսին է f(x)=x2+1, պարաբոլների գրաֆիկները դեկարտյան հարթությունում, կանոններ, ինչպիսիք են «վերցնել մուտքագրումը և դրան ավելացնել 3», բայց այստեղ մենք կմտածենք ֆունկցիան որպես միջոց համապատասխանեցնել մի հավաքածուի տարրերը մյուսի տարրերի հետ:

Եկեք այդ բազմություններից մեկը համարենք ℕ՝ բնական թվերի բազմությունը: Մյուս բազմության համար, որը մենք կանվանենք S, մենք կվերցնենք բոլոր զույգ բնական թվերը: Ահա մեր երկու հավաքածուները.

ℕ={0,1,2,3,4,…} S={0,2,4,6,8,…}

Կա մի պարզ ֆունկցիա, որը ℕ-ի տարրերը վերածում է S-ի տարրերի՝ f(x)=2x: Այս ֆունկցիան պարզապես կրկնապատկում է իր մուտքերը, հետևաբար, եթե ℕ-ի տարրերը համարենք որպես f(x)-ի մուտքեր (գործառույթի մուտքերի բազմությունը անվանում ենք «տիրույթ»), ելքերը միշտ կլինեն S-ի տարրեր: օրինակ՝ f(0)=0, f(1)=2, f(2)=4, f(3)=6 և այլն: Դուք կարող եք դա պատկերացնել՝ կողք կողքի շարելով երկու հավաքածուների տարրերը և օգտագործելով սլաքներ՝ ցույց տալու համար, թե ինչպես է f ֆունկցիան մուտքերը ℕ-ից վերածում S-ի ելքերի:

N.                         S

0———f————>1

1———f————>2

2———f————>4

3———f————>6

4———f————>8

5———f————>10

Ուշադրություն դարձրեք, թե ինչպես է f(x)-ը վերագրում S-ի մեկ տարր ℕ-ի յուրաքանչյուր տարրին: Դա այն է, ինչ գործառույթներն են անում, բայց f(x)-ն դա անում է հատուկ ձևով: Նախ, f-ն ամեն ինչ վերագրում է S-ում ℕ-ում: Օգտագործելով ֆունկցիայի տերմինաբանությունը՝ մենք ասում ենք, որ S-ի յուրաքանչյուր տարր f ֆունկցիայի տակ գտնվող ℕ տարրի «պատկերն» է։ Օրինակ՝ 3472 զույգ թիվը S-ում է, և մենք կարող ենք գտնել x ℕ-ում այնպիսին, որ f(x)=3472 (մասնավորապես՝ 1736): Այս իրավիճակում մենք ասում ենք, որ f(x) ֆունկցիան քարտեզագրում է ℕ S-ի վրա: Դա ասելու ավելի գեղեցիկ ձև է, որ f(x) ֆունկցիան «սուբյեկտիվ» է: Ինչ էլ որ նկարագրեք, կարևորն այն է. քանի որ f(x) ֆունկցիան մուտքերը ℕ-ից վերածում է S-ի ելքերի, S-ում ոչինչ չի բաց թողնվում գործընթացում: Նույնիսկ ավելի մեծ անակնկալ կարող է լինել այն, որ կան տարբեր չափերի անսահման հավաքածուներ: Ավելի վաղ մենք ուսումնասիրեցինք իրական և բնական թվերի անվերջ բազմությունների տարբեր բնույթը, և Քանտորն ապացուցեց, որ այս երկու անսահման բազմությունները տարբեր չափեր ունեն: Նա դա արեց իր փայլուն և հայտնի, անկյունագծային փաստարկով:

Քանի որ կան անսահման շատ իրական թվեր ցանկացած երկու տարբեր իրականների միջև, եկեք մի պահ կենտրոնանանք զրոյի և 1-ի միջև եղած անսահման շատ իրական թվերի վրա: Այս թվերից յուրաքանչյուրը կարելի է համարել որպես (հնարավոր է անվերջ) տասնորդական ընդլայնում, ինչպես օրինակ.

          a1, a2, a3, a5……

Այստեղ a1, a2, a3 և այլն, պարզապես թվի թվերն են, բայց մենք կպահանջենք, որ ոչ բոլոր թվանշանները լինեն զրո, որպեսզի մենք չներառենք զրոյական թիվը մեր հավաքածուում:

Շեղանկյուն արգումենտը հիմնականում սկսվում է այն հարցից. Ի՞նչ կլիներ, եթե բնական թվերի և այս իրական թվերի միջև բիեկցիա գոյություն ունենար: Եթե ​​այդպիսի ֆունկցիա գոյություն ունենար, երկու բազմությունները կունենային նույն չափը, և դուք կարող եք օգտագործել ֆունկցիան՝ յուրաքանչյուր իրական թիվը զրոյի և 1-ի միջև բնական թվի հետ համապատասխանեցնելու համար: Դուք կարող եք պատկերացնել համընկնումների պատվիրված ցանկը, այսպես

    N.                              իրական թվեր

                                       0 և 1 միջև

    0.<———————->0 a1,a2,a3,a4,a5..

     1 <———————>0 b1,b2,b3,b4,b5…

     2 <———————>0 c1,c2,c3,c4,c5…

     3 <———————>0 d1,d2,d3,d4,d5…

     4 <———————>0 e1,e2,e3,e4,e5…

Անկյունագծային փաստարկի հանճարը կայանում է նրանում, որ դուք կարող եք օգտագործել այս ցուցակը իրական թիվ կառուցելու համար, որը չի կարող լինել ցուցակում: Սկսեք իրական թվանշան նիշ առ նիշ կառուցել հետևյալ կերպ. տասնորդական կետից հետո առաջին նիշը դարձրեք a1-ից տարբեր, երկրորդ նիշը b2-ից տարբերվող, երրորդ թվանշանը դարձրեք c3-ից տարբերվող և այլն:

       N.                              իրական թվեր

                                       0 և 1 միջև

    0.<———————->0 a1,a2,a3,a4,a5..

     1 <———————>0 b1,b2,b3,b4,b5…

     2 <———————>0 c1,c2,c3,c4,c5…

     3 <———————>0 d1,d2,d3,d4,d5…

     4 <———————>0 e1,e2,e3,e4,e5

      

      

 Այս իրական թիվը որոշվում է ցուցակի անկյունագծի հետ ունեցած փոխհարաբերությամբ: Ցուցակո՞ւմ է: Այն չի կարող լինել ցուցակի առաջին համարը, քանի որ այն ունի այլ առաջին թվանշան: Նա չի կարող լինել ցուցակի երկրորդ համարը, քանի որ այն ունի այլ թվանշան: Փաստորեն, դա չի կարող լինել այս ցուցակի n-րդ համարը, քանի որ այն ունի տարբեր n-րդ նիշ: Եվ սա ճիշտ է բոլոր n-ի համար, ուստի այս նոր թիվը, որը գտնվում է զրոյի և 1-ի միջև, չի կարող լինել ցուցակում: Բայց բոլոր իրական թվերը զրոյի և 1-ի միջև պետք է լինեին ցուցակում: Այս հակասությունը ծագում է այն ենթադրությունից, որ գոյություն ունի բիեկցիա բնական թվերի և իրականների միջև զրոյի և 1-ի միջև, և, հետևաբար, նման բիեկցիա գոյություն չունի: Սա նշանակում է, որ այս անսահման հավաքածուները տարբեր չափսեր ունեն: Գործառույթների հետ մի փոքր ավելի շատ աշխատանք (տե՛ս վարժությունները) կարող է ցույց տալ, որ բոլոր իրական թվերի բազմությունը նույն չափն է, ինչ զրոյի և 1-ի միջև ընկած բոլոր ռեալների բազմությունը, և, հետևաբար, ռեալները, որոնք պարունակում են բնական թվեր, պետք է լինեն a. ավելի մեծ անսահման հավաքածու: Անսահման բազմության չափի տեխնիկական տերմինը նրա «կարդինալությունն» է։ Շեղանկյուն փաստարկը ցույց է տալիս, որ իրական թվերի կարդինալությունն ավելի մեծ է, քան բնական թվերի կարդինալությունը։ Բնական թվերի կարդինալությունը գրվում է ℵ0, արտասանվում է «aleph naught»: Մաթեմատիկայի ստանդարտ տեսակետում սա ամենափոքր անսահման կարդինալն է: Հաջորդ անսահման կարդինալը ℵ1-ն է («ալեֆ մեկ»), և մի պարզ հարցն ավելի քան մեկ դար է, ինչ անհանգստացնում է մաթեմատիկոսներին. Այսինքն՝ բնական թվերի և իրական թվերի միջև այլ անվերջություններ կա՞ն։ Քանթորը կարծում էր, որ պատասխանը ոչ է՝ պնդում, որը հայտնի դարձավ որպես շարունակական հիպոթեզ, բայց նա չկարողացավ դա ապացուցել: 1900-ականների սկզբին այս հարցն այնքան կարևոր էր համարվում, որ երբ Դեյվիդ Հիլբերտը հավաքեց մաթեմատիկայի 23 կարևոր բաց խնդիրների իր հայտնի ցանկը, շարունակականության վարկածը թիվ մեկ էր:

Հարյուր տարի անց մեծ առաջընթաց է գրանցվել, բայց այդ առաջընթացը հանգեցրել է նոր առեղծվածների: 1940 թվականին հայտնի տրամաբան Կուրտ Գյոդելն ապացուցեց, որ բազմությունների տեսության ընդհանուր ընդունված կանոնների համաձայն անհնար է ապացուցել, որ գոյություն ունի անսահմանություն բնական թվերի և իրական թվերի միջև: Դա կարող է թվալ մեծ քայլ դեպի ապացուցելու, որ շարունակականության վարկածը ճշմարիտ է, բայց երկու տասնամյակ անց մաթեմատիկոս Փոլ Քոհենն ապացուցեց, որ անհնար է ապացուցել, որ այդպիսի անսահմանություն գոյություն չունի: Պարզվում է, որ շարունակականության վարկածն այսպես թե այնպես չի կարող ապացուցվել: Այս արդյունքները միասին հաստատեցին շարունակականության վարկածի «անկախությունը»: Սա նշանակում է, որ բազմությունների ընդհանուր ընդունված կանոնները բավականաչափ չեն ասում մեզ, թե արդյոք գոյություն ունի անսահմանություն բնական թվերի և իրականների միջև: Բայց մաթեմատիկոսներին անսահմանության ըմբռնման ձգտման մեջ հուսահատեցնելու փոխարեն, դա նրանց առաջնորդել է նոր ուղղություններով: Մաթեմատիկոսներն այժմ փնտրում են նոր հիմնարար կանոններ անսահման բազմությունների համար, որոնք կարող են բացատրել այն, ինչ արդեն հայտնի է անսահմանության մասին, և օգնել լրացնել բացերը:

«Իմ սերը քո հանդեպ անկախ է աքսիոմներից» ասելը կարող է այնքան զվարճալի չլինի, որքան «Ես քեզ սիրում եմ անսահմանություն գումարած 1» ասելը, բայց, հավանաբար, դա կօգնի անսահմանության սիրահար մաթեմատիկոսների հաջորդ սերնդին լավ քնել:

Թարգմանության հղումն`այստեղ

Տնային աշխատանք…

1.Նկարի պատկերը բաժանել երեք իրար հավասար (տեսքով և մեծությամբ) մասերի:

2.Նկարը բաժանիր 4 հավասար մասերի այնպես, որ յուրաքանչյուր մաս ունենա մեկ շրջան:

3.Ամենաշատը քանի՞ «T» կտեղավորվի նկարում բերված քառակուսու մեջ:

4.Պատկերը բաժանել 5 հավասար մասերի:

5.Պատկերը բաժանել չորս հավասար մասերի:

6.Անին խճաքարեր է դնում ավազի մեջ։ Սկզբում նա դրեց մի քար, հետո խճաքարեր ավելացրեց հնգանկյուն պատրաստելու համար, այնուհետև ավելացնելով  խճաքարերը պատրաստեց ավելի մեծ հնգանկյուն և շարունակեց  ինչպես պատկերված է նկարում։ Քարերի թիվը, որ նա տեղադրել էր առաջին չորս նկարներում՝ 1, 5, 12 և 22։ Եթե շարունակեք ստեղծել նման նկարներ, ապա քանի՞ քար կլինի 10-րդ նկարում ։

1+3=4

4+3=7

7+3=10

10+3=13

13+3=16

16+3=19

19+3=22

22+3=25

25+3=28

28+3=31

1+4=5

5+7=12

12+10=22

22+13=35

35+16=51

51+19=70

70+22=92

92+25=117

117+28=145

145+31=176

Տնային աշխատանք…

17.12.2021թ

1.Սեղանին կա  երեք տեսակի քաղցրավենիք ՝ իրիս, կարամել և սառնաշաքար:Հայտնի է, որ իրիսը 8-ով պակաս է բոլոր մյուս կոնֆետներից, իսկ կարամելները՝14-ով պակաս, քան մյուս բոլոր կոնֆետները։ Քանի՞ սառնաշաքար կա սեղանին:
i-իրիս
k-կարամել
s-սառնաշաքար

i=k+s-8
k=i+s-14
i+k=i+k+2s-6
2s=6
s=3

2.Արամի հեռախոսի մարտկոցը ամբողջությամբ լիցքաթափվում է, երբ նա 10 ժամ խոսում է հեռախոսով, կամ 40 ժ թողնում է պասիվ ռեժիմում։ Երբ Արամը նստեց գնացք, մարտկոցը ամբողջությամբ լիցքավորված էր, իսկ գնացքից դուրս գալիս՝ ամբողջությամբ լիցքաթափված։ Քանի՞ ժամ է նա գտնվել գնացքում, եթե հայտնի է, որ նա այդ ժամանակի ուղիղ կեսը խոսել է հեռախոսով։

ամբողջ-tժ
1=t/2.1/10+t/2.1/40=5t/80=1
5t=80
t=16

3.Հնարավո՞ր է արդյոք 6×6 աղյուսակում դասավորել բնական թվեր այնպես, որ ցանկացած  1×4 պատկերում եղած թվերի գումարը լինի զույգ թիվ, իսկ ամբողջ աղյուսակի թվերի գումարը՝ կենտ:

Ոչ

Տնային աշխատանք…

Դասարանային և տնային աշխատանք…

1) 1(2) 2(2) 3(3) 4(1)

2) 1(4) 2(2) 3(1) 4(1)

3) 1(3) 2(4) 3(4) 4(2)

4) 1(2) 2(2) 3(3) 4(1)

5) 1(2) 2(3) 3(3) 4(4)

6) 1(2) 2(3) 3(3) 4(4)

7) 1(2) 2(3) 3(4) 4(1)

8) 1(1) 2(1) 3(2) 4(1)

9) 1(2) 2(1) 3(2) 4(2)

10) 1(3) 2(2) 3(2) 4(1)

11) 1(4) 2(1) 3(3) 4(1)

12) 1(4) 2(3) 3(4) 4(3)

13) 1(2) 2(2) 3(3) 4(4)

14) 1(2) 2(3) 3(3) 4(3)

15) 1(2) 2(3) 3(3) 4(1)

16) 1(3) 2(1) 3(2) 4(1)

17) 1(2) 2(3) 3(2) 4(2)

18) 1(3) 2(2) 3(4) 4(4)

Դասարանական աշխատանք…

1. պատասխան՝ 19 լուսանկար
2. պատասխան՝12

1. ճիշտ է
2. ճիշտ է
3. սխալ է
4. սխալ է
5. սխալ է
6. սխալ է

Տնային աշխատանք…

Տնային աշխատանք…

Տնային աշխատանք…