Բրաունի թխելու և հավասար մակերեսների չափման հիմքում ընկած է պարզ երկրաչափությունը…

Ապացուցելը, որ երկու բազմանկյունները ունեն հավասար մակերեսներ կարող է լինել նույնքան հեշտ, որքան դրանք կտորների բաժանելը և վերադասավորելը:

Երկրաչափություն ուսումնասիրող ուսանողուհի Ջինան երեկ երեկոյան շատ երկար արթուն մնաց, որպեսզի կատարի իր տնային աշխատանքը երկրաչափությունից: Մինչ տնային աշխատանքն էր կատարում, նա հեռուստացույցով դիտում էր The British Bake Off հաղորդումը: Վերջապես երբ նա գնաց քնելու, նրա քնկոտ միտքը լի էր բրաունիներով և կողմնացույցերով: Այս ամենը հանգեցրին մի շատ տարօրինակ երազի:

Երազում Ջինան, մի երևակայական համալսարանի Great Brownie Bake Off մրցույթի դատավորն էր: Համալսարանում ուսանողները սովորում էին շատ երկրաչափություն և շատ քիչ թվաբանություն: Այս երևակայական համալսարանի ուսանողների թիմերին հանձնարարվել էր պատրաստել ամենամեծ բրաունին: Ջինան պիտի որոշեր, հաղթողին որոշելով թե, որ թիմի բրաունին է ամենամեծը:

Առաջինը ավարտեց Ալֆա թիմը և որն էլ հպարտությամբ ներկայացրեցին ուղղանկյուն բրաունին: Ջինան հանեց քանոն և չափեց բրաունին. դրա երկարությունը 16 դյույմ էր և լայնությունը 9 դյույմ: Բետա թիմը արագ ներկայացրեց իր քառակուսի բրունին, որը յուրաքանչյուր կողմը 12 դյույմ էր: Այդ ժամանակ էլ սկսվեց Ջինայի փորձությունը:

«Մեր բրաունին շատ ավելի երկար է, քան քան ձերը»- ասաց Ալֆայի թիմի ավագը: «Մերն ակնհայտորեն ավելի մեծ է, ուստի մենք ենք հաղթողները»:

«Բայց ձեր ուղղանկյան կարճ կողմը շատ ավելի կարճ է, քան մեր քառակուսու կողմը», – ասաց Բետա թիմի ներկայացուցիչը: «Մեր բրաուինի մակերեսը ակնհայտորեն ավելի մեծ է։ Մենք հաղթել ենք»։

Ջինային տարօրինակ թվաց այս մասին վիճելը: «Ուղղանկյուն բրաունիի մակերեսը 9 անգամ 16 է, ինչը 144 քառակուսի դյույմ է», – ասաց նա: «Քառակուսի բրաունիի մակերեսը 12 անգամ 12 է, որը նույնպես 144 քառակուսի դյույմ է։ Բրաունիները նույն չափի են: Սա նշանակում է մրցույթի արդյունքը որ-ոքի է:

Երկու թիմերն էլ տարակուսած տեսք ունեին: «Ես չեմ հասկանում, թե ինչ նկատի ունես «անգամներ ասելով», – ասաց մի ուսանող, որին երբեք բազմապատկում չեն սովորեցրել: «Ոչ էլ ես», – ասաց մեկ ուրիշը: Երրորդն ասաց. «Ես լսել եմ Complex College-ի ուսանողների մասին, որոնք «անգամ» թվեր են օգտագործում, բայց ի՞նչ է դա նշանակում»: Երևակայական համալսարանն իսկապես տարօրինակ վայր էր, նույնիսկ երազների համար:

Ի՞նչ պետք է աներ Ջինան: Ինչպե՞ս կարող էր նա համոզել թիմերին, որ իրենց բրաունիները նույն չափի են, եթե նրանք չեն հասկանում, թե ինչպես չափել մակերեսը և բազմապատկել թվերը: Բարեբախտաբար, Ջինան մի հանճարեղ միտք ուներ. «Ինձ դանակ տվեք», – ասաց նա:
Ջինան ուղղանկյուն բրաունիի երկար կողմով չափեց 12 դյույմ ներքև և կտրեց կարճ կողմին զուգահեռ: Դրանով մեծ ուղղանկյունը վերածվեց երկու փոքր ուղղանկյունի. մեկը՝ 9-ի 12-ի, իսկ մյուսը՝ 9-ի 4-ի: Երեք արագ կտրվածքով նա 9-ը 4-ի կտորը վերածեց երեք ավելի փոքր 3-ից 4-ի: Մի փոքր վերադասավորումը հանգեցրեց ամբոխի կողմից լսելի վայերի և վայերի. Ջինան ուղղանկյունը վերածել էր քառակուսու ճշգրիտ կրկնօրինակի: Այժմ երկու թիմերն էլ պետք է համաձայնվեին, որ իրենց բրաունիները նույն չափի էին: Հատելով մեկը և վերադասավորելով այն մյուսը ձևավորելու համար՝ Ջինան ցույց տվեց, որ երկու բրաունիները զբաղեցնում են նույն ընդհանուր տարածքը։ Նման մասնահատումները հազարամյակներ շարունակ օգտագործվել են երկրաչափության մեջ՝ ցույց տալու համար, որ թվերը նույն չափի են, և կան բազմաթիվ ուշագրավ արդյունքներ դիսեկցիաների և համարժեքության վերաբերյալ: Նույնիսկ այսօր մաթեմատիկոսները դեռ օգտագործում են դիսեկցիան և վերադասավորումը՝ լիովին հասկանալու համար, թե երբ են որոշ ձևեր համարժեք, ինչը վերջերս հանգեցնում է որոշ զարմանալի արդյունքների։ Դուք հավանաբար տեսել եք երկրաչափական հատվածներ մաթեմատիկայի դասին, երբ մշակում եք հիմնական ձևերի մակերեսի բանաձևերը: Օրինակ, դուք կարող եք հիշել, որ զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նրա հիմքի երկարությանը և նրա բարձրությանը: Դա պայմանավորված է նրանով, որ զուգահեռագիծը կարող է մասնատվել և վերադասավորվել ուղղանկյան ձևով: Այս հատվածը ցույց է տալիս, որ զուգահեռագծի մակերեսը հավասար է նույն հիմքով և բարձրությամբ ուղղանկյան մակերեսին, որը, ինչպես գիտի Imaginary University չհաճախած յուրաքանչյուր ոք, այդ երկու թվերի արտադրյալն է։

Խոսելով Imaginary U-ի մասին՝ Great Brownie Bake Off-ը պարզապես թեժանում էր: Գամմա թիմը մոտեցավ մեծ եռանկյունաձև բրաունիով: «Ահա հաղթողը»,- համարձակորեն հայտարարեցին նրանք։ «Մեր երկու կողմերն էլ շատ ավելի երկար են, քան մյուսները»:

Ջինան չափեց կողքերը։ «Սա նույնպես ունի նույն մակերեսը»: Նա բացականչեց. «Սա ուղղանկյուն եռանկյուն է, և հիմքերի չափերը ՝18 և 16, և այդպիսով «մակերեսը»….Ջինան մի պահ կանգ առավ՝ նկատելով բոլորի դեմքերի շփոթված հայացքները: «Օ՜, չէ: Պարզապես տվեք ինձ դանակը»:

Ջինան հմտորեն կտրեց ներքնաձիգի միջնակետից մինչև ավելի երկար հիմքւ միջնակետը, այնուհետև պտտեց նոր ձևավորված եռանկյունին այնպես, որ այն կատարյալ ուղղանկյունի ստեղծեց, երբ տեղավորվեց ավելի մեծ կտորի մեջ:

«Դա հենց մեր բրաունին է»: Բղավեց Ալֆա թիմի ղեկավարը: Անշուշտ, ստացված ուղղանկյունը 9-ը 16-ի վրա էր. ճիշտ նույն չափը, ինչ իրենցը:

Բետա թիմն էլ իր կասկածներն ուներ: «Բայց ինչպե՞ս է այս եռանկյունը համեմատվում մեր քառակուսու հետ»: նրանց թիմի ղեկավարը հարցրեց:

«Մենք արդեն գիտենք, որ ուղղանկյունը և քառակուսին նույն չափերն են, ուստի անցողիկությամբ եռանկյունին և քառակուսին նույն չափերն են»: Անցումայինությունը հավասարության ամենակարևոր հատկություններից մեկն է: Այն ասում է, որ եթե a = b և b = c, ապա a = c: Ջինան շարունակեց. «Եթե առաջին բրաունիի մակերեսը հավասար է երկրորդի մակերեսին, իսկ երկրորդի մակերեսը հավասար է երրորդի մակերեսին, ապա առաջին և երրորդ բրաունիները նույնպես պետք է ունենան հավասար մակերեսներ»։

Բայց Ջինան չափից դուրս շատ էր զվարճանում մակերեսները մասերի բաժանելու գործընթացով ապա նա կանգ չառավ: «Կամ մենք կարող ենք ևս մի քանի կրճատումներ անել»:

Սկզբում Ջինան պտտեց ուղղանկյունը, որը նախկինում եռանկյուն էր: Այնուհետև նա կտրեց այն՝ օգտագործելով ճիշտ նույն նախշը, որն օգտագործել էր Ալֆայի թիմի ուղղանկյունի վրա:

Այնուհետև նա ցույց տվեց, թե ինչպես Գամմա թիմի ուղղանկյան այս նոր հատվածը կարող է վերածվել Բետա թիմի քառակուսու ճիշտ այնպես, ինչպես նա արել էր Ալֆա թիմի ուղղանկյան հետ:

Այս իրավիճակում մենք ասում ենք, որ եռանկյունը և քառակուսին «մկրատով միանման են»: Դուք կարող եք պատկերացնել, թե ինչպես եք օգտագործում մկրատը, որպեսզի կտրեք մի ամբողջը վերջապես շատ կտորների, որոնք այնուհետև կարող են վերադասավորվել մյուսը ձևավորելու համար: Եռանկյունու և քառակուսու դեպքում բրաունիները ցույց են տալիս, թե ինչպես է այս մկրատի համընկնումն աշխատում:

Ուշադրություն դարձրեք, որ օրինաչափությունը գործում է երկու ուղղությամբ. այն կարող է օգտագործվել եռանկյունը քառակուսու կամ քառակուսին եռանկյունու վերածելու համար: Այլ կերպ ասած, մկրատի համընկնումն սիմետրիկ է. Եթե A ձևը մկրատով համահունչ է B ձևին, ապա B ձևը նույնպես մկրատով համահունչ է A ձևին:

Փաստորեն, վերը նշված փաստարկը, որը ներառում է եռանկյունին, ուղղանկյունին և քառակուսին, ցույց է տալիս, որ մկրատի համընկնումն էլ է անցողիկ: Քանի որ եռանկյունը մկրատով միանման է ուղղանկյունին, իսկ ուղղանկյունը մկրատով միանման է քառակուսին, եռանկյունը մկրատով միանման է քառակուսին: Ապացույցը օրինաչափության մեջ է. պարզապես դրանք ծածկեք միջանկյալ ձևի վրա, ինչպես արվեց վերևի ուղղանկյունի հետ:

Եթե ​​դուք եռանկյունը կտրեք կտորների, որոնք կազմում են ուղղանկյունը, ապա կտրեք ուղղանկյունը քառակուսի ձևավորող մասերի, ստացված կտորները կարող են օգտագործվել երեք ձևերից որևէ մեկը ձևավորելու համար:

Այն փաստը, որ մկրատի համընկնումն է այս զարմանալի արդյունքի հիմքում ընկած: Եթե երկու բազմանկյուններ ունեն նույն մակերեսը, ապա դրանք մկրատով միանման են: Սա նշանակում է, որ հաշվի առնելով նույն մակերեսով ցանկացած երկու բազմանկյուն, դուք միշտ կարող եք կտրել մեկը վերջավոր թվով կտորների և վերադասավորել դրանք՝ մյուսը դարձնելու համար:

Այս ուշագրավ թեորեմի ապացույցը նույնպես զարմանալիորեն պարզ է։ Նախ, յուրաքանչյուր բազմանկյուն կտրատեք եռանկյունների:

Երկրորդ, յուրաքանչյուր եռանկյունը դարձրեք ուղղանկյուն, ինչպես Ջինան վերադասավորեց եռանկյունաձև բրաունին:

Այժմ գալիս է բարդ տեխնիկական մասը. յուրաքանչյուր ուղղանկյուն դարձրեք մեկ միավոր լայնությամբ նոր ուղղանկյուն:Դա անելու համար սկսեք կտորներ կտրել ուղղանկյունից, որոնք ունեն մեկ միավոր լայնություն

Եթե ​​դուք կարող եք կտրել ուղղանկյունը 1 լայնությամբ ամբողջական կտորների Պարզապես դրեք դրանք միմյանց վրա: Հակառակ դեպքում, դադարեցրեք մանրացնելը, երբ վերջին կտորը լինի 1-ից 2 միավորի լայնությամբ, իսկ մնացածը դրեք իրար վրա։

Մի անհանգստացեք, եթե ուղղանկյունն ինքնին 1 միավորից պակաս լայնություն ունի: Պարզապես կտրեք այն կիսով չափ և օգտագործեք երկու կտոր՝ երկու անգամ ավելի երկար և կես հաստությամբ նոր ուղղանկյուն պատրաստելու համար: Կրկնեք անհրաժեշտության դեպքում, մինչև ստանաք ուղղանկյուն 1-ից 2 միավոր լայնությամբ:

Հիմա պատկերացրեք, որ այս վերջնական ուղղանկյունն ունի h բարձրություն և w լայնություն՝ 1 < w < 2-ով: Մենք կտրելու ենք այդ ուղղանկյունը և այն կվերադասավորենք ուղղանկյունի, որի լայնությունը 1 է և բարձրությունը h × w: Դա անելու համար h × w ուղղանկյունը ծածկեք ցանկալի hw × 1 ուղղանկյան նման

Այնուհետև կտրեք անկյունից անկյուն կետավոր գծի երկայնքով և կտրեք փոքրիկ եռանկյունը ներքևի աջ մասում, որը հետևում է hw × 1 ուղղանկյան աջ եզրին:

Սա կտրում է h × w ուղղանկյունը երեք մասի, որոնք կարող են վերադասավորվել hw × 1 ուղղանկյունի: (Այս վերջնական մասնահատումը հիմնավորելու համար պահանջվում են մի քանի խելացի փաստարկներ, որոնք ներառում են նմանատիպ եռանկյուններ: Մանրամասների համար տես ստորև ներկայացված վարժությունները):

Վերջապես, դրեք այս վերջին ուղղանկյունը կույտի վերևում, և դուք հաջողությամբ վերածեցիք այս բազմանկյունը և ցանկացած բազմանկյուն, լայնությամբ ուղղանկյան:

Այժմ, եթե սկզբնական բազմանկյունի մակերեսը եղել է A, ապա այս ուղղանկյան բարձրությունը պետք է լինի A, ուստի A մակերեսով յուրաքանչյուր բազմանկյուն մկրատ է 1 լայնությամբ և A բարձրությամբ ուղղանկյունին համահունչ: Դա նշանակում է, որ եթե երկու բազմանկյուններ ունեն A մակերես, ապա նրանք երկուսն էլ նույն ուղղանկյունին համահունչ մկրատ են, հետևաբար անցողիկությամբ նրանք իրար համապատասխան մկրատ են: Սա ցույց է տալիս, որ A մակերեսով յուրաքանչյուր բազմանկյուն մկրատով միանման է A. մակերեսով յուրաքանչյուր այլ բազմանկյունին:

Բայց նույնիսկ այս հզոր արդյունքը բավարար չէր Imaginary University’s Brownie Bake Off-ի դատողությունը հաջողությամբ ավարտելու համար: Դեռ մեկ մուտք էր մնացել, և ոչ ոք չզարմացավ, թե ինչով հայտնվեց Փի թիմը:

Այն պահին, երբ Ջինան տեսավ այդ շրջանակը, նա սառը քրտինքով արթնացավ երազից: Նա գիտեր, որ անհնար է շրջանագիծը կտրել անսահման շատ կտորների և դրանք վերադասավորել՝ ձևավորելով քառակուսի, ուղղանկյուն կամ որևէ բազմանկյուն: 1964 թվականին մաթեմատիկոսներ Լեսթեր Դուբինսը, Մորիս Հիրշը և Ջեկ Կարուշն ապացուցեցին, որ շրջանագիծը մկրատով համահունչ չէ որևէ բազմանկյունի: Ջինայի երազանքը վերածվել էր երկրաչափական մղձավանջի:

Բայց ինչպես միշտ թվում է, որ մաթեմատիկոսներն այս խոչընդոտը վերածեցին նոր մաթեմատիկայի: 1990 թվականին Միկլոշ Լաչկովիչն ապացուցեց, որ հնարավոր է շրջանակը կտրատել և այն վերադասավորել քառակուսու մեջ, քանի դեռ կարող ես օգտագործել անսահման փոքր, անսահման անջատված, անսահման ատամնավոր կտորներ, որոնք հնարավոր չէ կտրել մի մկրատով: Որքան էլ զարմանալի և հուզիչ էր Լաչկովիչի արդյունքը, այն միայն ապացուցեց, որ նման տարրալուծումը տեսականորեն հնարավոր է: Այն չէր բացատրում, թե ինչպես կարելի է կառուցել կտորները, միայն այն, որ դրանք կարող էին գոյություն ունենալ: Հենց այստեղ եկան Անդրաս Մատեն, Օլեգ Պիխուրկոն և Ջոնաթան Նոելը. 2022 թվականի սկզբին նրանք հրապարակեցին մի հոդված որտեղ նրանք համապատասխանեցին Լաչկովիչի նվաճմանը, բայց այնպիսի կտորներով, որոնք հնարավոր է միայն պատկերացնել:

Դժբախտաբար, դուք չեք կարողանա օգտագործել դրանց արդյունքը բրաունիի թխման որևէ խնդիր լուծելու համար: Միայն մկրատը չի կարող արտադրել 10200 կտոր, որն անհրաժեշտ է դրանց տարրալուծման համար: Բայց դա ևս մեկ քայլ առաջ է՝ պատասխանելու հարցերի այն երկար շարքին, որոնք սկսվեցին այն ժամանակ, երբ Արքիմեդն առաջին անգամ հայտնագործեց կամ հայտնաբերեց π. Եվ դա մեզ ստիպում է շարժվել դեպի նոր մաթեմատիկա հորինելու կամ բացահայտելու, որոնց մասին նախորդ սերունդները չէին կարող երազել:

Թարգմանության աղբյուրը`այստեղ